واحد پنهان داراي رابطه غير خطي است. در برابر آن تبديل فضاي پنهان به فضاي خروجي داراي رابطه خطي است. توجيه رياضياتي انتخاب اين توابع تبديل توسط

Transcript

1 بهار 94 سال بیست و چهارم شماره 95 صفحه 07 تا 6 روش جديد شبکه تابع پايه شعاعي تعميم يافته به منظور درونيابي متغيرهاي ناحيه اي در علوم زمين امين حسينمرشدي * و حسين معماريان استادیار دانشکده مهندسی معدن و متالورژی دانشگاه یزد یزد ايران استاد دانشکده مهندسی معدن پردیس دانشكده های فني دانشگاه تهران تهران ايران تاريخ دريافت: 393 /07 /05 تاريخ پذيرش: 393 /0 / چکيده بهمنظور مدل سازي فضايي يک متغير ناحيهاي در يک منطقه يا سايت ابزارهاي درونيابي و برآوردگرهاي متفاوتي مورد استفاده قرار ميگيرد. در اين پژوهش روش درونيابي نويني با استفاده از تعميم شبکه تابع پايه شعاعي و با در نظر گرفتن مختصات و ساختار فضايي دادهها ارايه شده است. در اين روش بهمنظور درونيابي ابتدا ساختار فضايي و ناهمسانگردي دادهها مورد بررسي قرار ميگيرد و با رسم واريوگرامهاي جهتي شعاعها و زاوياي چرخش بيضوي ناهمسانگردي تعيين ميشود. با استفاده از بيضوي ناهمسانگردي فضاي همسايگي پیرامون هر نقطه و نقاط قرار گرفته در شعاع همسايگي گرههاي واحد پنهان مشخص ميشود و بر پایه ميانگين فاصله بین نقاط قرار گرفته در اين شعاع ماتريس کوواريانس و عامل شکل توابع انتقال به دست ميآید. ماتريس تعميم يافته توابع انتقال متشکل از توابع انتقال تصحيح مختصات گرههاي واحد پنهان براي حل ماتريس ضرایب اوزان استفاده و در پایان درونيابي در هر نقطه از شبکه منظم نقاط نمونه برداري نشده( انجام ميشود. بهمنظور سنجش کارايي اين روش مجموعه داده مصنوعي عياري بهصورت نامنظم در يک فضاي سهبعدي مورد مطالعه قرار گرفت و پس از انجام همه مراحل فرايند درونيابي در اين فضا صورت گرفت. اعتبارسنجي متقابل میان مقادير واقعي و درونيابي شده بيانگر ضريب همبستگي 0/87 و خط برازش شده میان اين مقادير نزديک بهخط 45 درجه است. كليدواژه ها: درونيابي شبکه تابع پايه شعاعي (RBF ناهمسانگردي ماتريس کوواريانس عامل شکل علوم زمين. morshedy@yazd.ac.ir *نویسنده مسئول: امین حسین مرشدی بهدادههاي جديد ارايه شده است. امروزه توابع پايه شعاعي در مواردي چون برآورد مدلسازي پيشبيني و ردهبندي در زمينههاي مختلف از جمله علومزمين بهکار ميرود 0;( al., Mustafa et al., 0; Osterma, 0; Zhag et.flyer et al., 04; Hillier et al., 04 پژوهش حاضر يک روش جديد تعميم يافته شبکه RBF را پيشنهاد ميکند که با در نظر گرفتن ساختار فضايي و ناهمسانگردي موجود در دادهها برآورد و ارزيابي را در فضاي سه بعدي اجرا میکند. در اين روش ماتريس اوزان شبکه RBF از وزن هر تابع پايه شعاعي بههمراه وزن تابع خطي از ويژگي مختصات هر داده ورودي تشکيل شده و شرايط ناهمسانگردي دادههاي ورودي مرتبط با متغير ناحيهاي در نظر گرفته شده است. در اين روش نه تنها عامل شکل پهنا( توابع پايه شعاعي روي هر داده ورودي ميتواند متفاوت باشد بلکه گسترش فضايي هر تابع پايه شعاعي بسته به ناهمسانگردي فضايي در جهتهای مختلف نيز ميتواند متفاوت باشد. اين مهم توسط ابزاري چون واريوگرافي ماتريس دوران و کوواريانس ممکن ميشود. - ساختار شبکه توابع پايه شعاعي شبکه توابع پايه شعاعي در سادهترين حالت خود از 3 اليه مجزا تشکيل شده است: اليه ورودي که مجموعهاي از گرههاي ابتدايي واحدهاي حسي( است اليه دوم که اليهاي پنهان با ابعاد باالست و اليه خروجي که پاسخ شبکه را روي الگوهاي فعالسازي بهكار رفته در اليه ورودي ارايه ميدهد. تبديل فضاي ورودي به فضاي واحد پنهان داراي رابطه غير خطي است. در برابر آن تبديل فضاي پنهان به فضاي خروجي داراي رابطه خطي است. توجيه رياضياتي انتخاب اين توابع تبديل توسط (965 Cover بدين گونه بيان شده که مسئله ردهبندي الگوي پيچيدهاي كه در يك فضاي بعد باالي غير خطي شکل گرفته است محتملتر است كه بهصورت خطي در فضاي بعد پايين قابل تفکيک باشد همچنين قضيه Cover در بحث جدايش الگوها 07 - پیشنوشتار امروزه با افزايش کاربرد محاسبات در علوم مهندسي کاربرد توابع رياضي براي ارزيابي فرايندها داراي اهميت دو چندان شده است. بدين منظور براي افزايش سرعت محاسبات و كاهش حافظه مورد استفاده بهکارگيري انواع تقريب توابع بهجاي خود توابع رياضياتي بهصورت دقيق اجتنابناپذير شده است. از اين رو استفاده از روشهاي تقريب توابع در علوم مختلف اهميت دارد. شبکههاي مبتني بر تابع پايه شعاعي fuctio( RBF: radial basis يکي از ابزار کاربردي براي تقريب توابع چندمتغيره است 003.Buhma; روش شبکه RBF يک رويكرد شبکه عصبي با قابليت طراحي در موضوع برازش منحني تقريب( در يک فضاي بعد باالست. فرايند آموزش معادل يافتن يک تابع مناسب چندبعدي است که بهترين برازش يا انطباق را با توجه به معيارهاي آماري "بهترين برازش" براي دادههاي آموزش تأمين کند که بهطور مشابه معادل استفاده از سطوح چندبعدي براي درونيابي دادههاي آزمون است. با توجه بهمحدوديتهاي روشهاي سنتي درونيابي در يک فضاي چندبعدي روش RBF مورد توجه پژوهشگران در حوزههاي مختلف علوم قرار گرفته است. واحدهاي پنهان در شبکههاي عصبي بهصورت مجموعهاي از توابع بهمنظور تركيب بردارهای ورودي بر پايه الگوهاي تصادفي بیان مي شوند توابع مورد استفاده در اين نوع شبکهها توابع پايه شعاعي است 999( Hayi,.Sahi, 997; توابع پايه شعاعي براي اولين بار براي حل مسئله درونيابي چندمتغيره مورد استفاده قرار گرفت 977.Powell, در حال حاضر مبحث یادشده يکي از زمينههاي اصلي پژوهش در تجزيه و تحليل عددي است. در زمينه شبکههاي عصبي توابع پايه شعاعي براي اولين بار توسط (988 Lowe Broomhead & بهکار گرفته شده است. بخش عمده ديگر استفادههاي آن در زمينه نظريه طراحي و کاربردهاي شبكههاي تابع پايه شعاعي است 989;( Reals, Moody & Dare, 989; Girosi, 990.Poggio & در مقاله (990 Girosi Poggio & استفاده از تئوري تنظيم براي اين گروه از شبکههاي عصبي بهعنوان روشي براي بهبود تعميم

2 روش جديد شبکه تابع پايه شعاعي تعميم يافته به منظور درونيابي... ( φ( ( φ( f p( x aφ x x ap x x 4 f ( x aφ x x a x x با فرض چندبعدي بودن خروجي تابع تعميم داده خواهد شد که بردار ضرایب - α- و ماتريس ضرایب - W- است. شبکه RBF کمي متفاوت از حالت نمايشي بهعنوان اليهاي از دو نگاشت است: ابتدا ابعاد فضای نگاشت از R به R سپس به اليه خروجي R m نگاشت ميشود 004( Zhag,.Hayi, 999; Zhag & ( ( x C ( x C x C φ y x C x C φ x C y.... x φ W x C x C φ ( x C y m y ( x W φ x C h jh j j j 5 دليل ديگر را وجود فضاي واحد پنهان با بعد باال در شبکه RBF بيان کرده است.Cover, 965; Sahi, 997( 08 شبکه RBF به عنوان يک شبکه عصبي شامل سه اليه ورودي مياني و خروجي است. اليه ورودي با وجود گره هاي زياد داراي ابعاد باالست. اليه مياني داراي C است و فرايندي که در اليه مياني صورت مي گيرد اين است که ابتدا گره با مرکز فاصله بردار ورودي از مرکز متناظر محاسبه تابع انتقال trasfer fuctio φ اعمال و سپس مقدار عددي حاصل از اليه خروجي y عبور داده مي شود. آخرين اليه داراي تبديل خطي است که يک ترکيب خطي از مقادير اليه مياني است. در مورد بردارهاي C بهعنوان مراکز RBF تعداد گرههاي اليه مياني( معموال بسيار کمتر از m تعداد نقاط دادههاي ورودي( است 999, Hayi شکل (. 3- مدل سازي عددي شبکه تابع پايه شعاعي الگوريتم RBF يک تابع از فاصله نقطه مورد نظر تا مرکز واحد مياني است تابع φ را يک تابع پايه شعاعي گويند در صورتي که x. φ x φ بنابراين اين تابع φ ميتواند روي بردار در فضاي R اعمال شود اما تنها در قالب فاصله بيان ميشود. اين بدين معني است که φ را ميتوان بهعنوان يک تابع عددي در نظر گرفت. اين مباحث کاربرد ماتريس فاصله اقليدسي Euclidea distace matrix با استفاده از تابع φ را بيان ميکند 99.Baxter, x x x x... x x x x x x... x x. EDM.. x x x x x x f ( x aφ( x x aφ( x x,..., a [ ضرایب ثابت تابع و φ نوعي تابع غير a که تابع برآوردگر x ] f ( خطي در فضاي R + R است که اشاره بهتابع انتقال دارد. برخی از توابع انتقال پايه شعاعي φ افزون بر بستگي بهتابع فاصله به عامل شکل ε( نيز وابسته هستند که بستگي به ميزان کشيدگي و پهنشدگي تابع دارد که رابطه آن با انحراف معيار توزيع عادی σ( بهصورت ε σ است. در جدول تعدادي از توابع کاربردي پايه شعاعي بههمراه روابط رياضي آنها ارايه شده است ;003 Wright,.Forberg & Piret, 008 براي تبديل تابع عددي φ به ماتريس φ ميتوان از تبديل درايهها بهصورت φ (A ij استفاده کرد. که تابع φ روي ماتريس فاصله اقليدسي اعمال φ( Aij ميشود و نتيجه آن به عنوان ماتريس انتقال ناميده ميشود. اکنون ميتوان تأثير تابع انتقال روي تقريب شعاعي را بررسي کرد. زماني که نوع تابع انتقال تعيين شد با x( x, x ميتوان,..., x استفاده از حل تعداد p معادله روي دادههاي ورودي,..., a را به دست آورد: ضرایب a aφ( x x apφ( x x y aφ( x x apφ( x x y.. 3. (... φ( aφ x x + + a x x y p p m x براي i j و ماتريس i اين مجموعه تا زماني برقرار است که بردارهاي x j حاصل از مجموعه معادالت وارون پذير باشد. بهمنظور برقراري توازن دقت در برابر پيچيدگي ميتوان از تمام نقاط داده p در اين مدل استفاده کرد يا اين که,..., c را براي مرکز RBF در نظر گرفت که >> است. c تعداد نقطه که W ماتريس ضرایب وزني خروجي از اليه مياني به اليه خروجي W است. با حفظ خطي بودن مسئله و با افزودن بردار باياس -b- ب عد W افزايش jh (,..., c ثابت باشند شبکه با استفاده مييابد. در حقيقت زماني که مراکز نقاط( c از دادهها براي يافتن ماتريس وزني و بردار باياس b آموزش داده ميشود. اين فرايند ميتواند بهصورت يک باره و توسط دادهها صورت پذيرد يا ميتوان با افزايش تعداد هستههاي RBF تابع وزن را در چند مرحله به روز رساني کرد. 4 -آموزش شبکه تابع شعاع پايه عمليات آموزش با تقسيم دادهها به مجموعههاي آموزش و آزمايش آغاز ميشود. پس از انجام آن در مورد تعداد و قرارگيري مراکز RBF و تابع انتقال φ تصميمگيري ميشود. آموزش با اجراي مسئله جبر خطي براي اوزان و باياس با استفاده هر جفت ورودي x و هر خروجي y يک سيستم از معادالت تشکيل داده ميشود. براي حل اين مجموعه معادالت ماتريسي شکل را میتوان بهصورت ساده شده نوشت: W Φ Y 6 که Φ يک ماتريس ترانهاده است که هر ستون آن بيانگر تابع شعاع پايه مربوط است. Φ j φ j ( x C j 7 ک ه بای د بع د ماتري س Φ را ب ا اف زودن ي ک در س طر نهايي ب راي بخش باي اس( افزاي ش داد. ب راي بهينهس ازي ماتري س وزن از کمينهس ازي ي ک تاب ع مناس ب خط ا اس تفاده ميش ود. يک ي از روشه اي معم ول اس تفاده از m تابع مجموع مربعات خطاست: E h( i hi, y x t i h 8 t مقدار هدف براي خروجي شبکه y است زماني که بردار ورودي m که, m شبکه x باشد. در پایان ماتريس W با وارون سازي Φ به دست ميآید: W Y Φ 9 در صورتي که دترمينان ماتريس Φ برابر صفر باشد براي حل معادله بر پایه Φ باید از تجزيه مقدار ويژه استفاده کرد. با استفاده از نتايج ماتريس اوزان و باياس و با در نظر گرفتن ماتريس شبکه RBF ميتوان مقدار متغير در يک نقطه جديد را به دست آورد 004( Zhag,.Sahi, 997; Hayi, 999; Zhag & يکي از نکات مهم در شبکه RBF انتخاب نوع تابع انتقال است که بر عهده فرد مدلساز است. يکي از موارد مهم توجه بهویژگیها و متغیرهاي آماري دادههاست. براي نمونه در حالتي که نوع RBF گوسي باشد عرض آن تابع داراي اهميت است که بايد بهگونهاي انتخاب شود که از فاصله میان نقاط داده بزرگتر و از بعد دادهها کوچکتر باشد. يکي از مسائل ديگر در طراحي شبکههاي RBF تعداد مراکز مورد استفاده در اليه مياني است. انتخاب تعداد اين مراکز رابطه مستقيم با دقت و پيچيدگي

3 معماريان حسين و حسينمرشدي امين 09 مورد دقت میان توازن که شود انتخاب اي گونه به بايد مراکز اين بنابراين دارد شبکه.Rippa, 999; Hayi, 999; Li & Che, 004( شود برقرار پيچيدگي و نظر شعاعي پايه تابع شبکه درونيابي 5- دستيابي منظور به شود مي استفاده درونيابي براي شعاعي پايه توابع از که مواردي در براي شود. مي گرفته نظر در برابر ورودي هاي داده بعد با مراکز تعداد باال دقت به اوليه ساختار به که کرد استفاده يافته تعميم RBF روش از توان مي درونيابي انجام بيان زير بهصورت که ميشود افزوده q درجه از p x چندجملهاي تابع RBF :Wright, 003( ميشود M( q f Wiφ ( x xi + ap l l( x 0 i l را خطي( معموال q درجه از چندجملهاي l,..., M که بهطوري pl که ميشود: بيان زير بهصورت a و W ضرایب تعيين براي معادالت ميدهد. تشکيل M Wiφ ( x j x i + ap l l( x j f j, j,..., i l 0 Wipl( x i 0, l,..., M i ماتريسي صورت به بخواهيم که صورتي در يافته تعميم RBF معادالت ساختار است صورت بدين بگيرد قرار استفاده مورد بعدي سه فضاي درونيابي براي و φ,.. φ, N x y z W f : : : : : : : : φn,.. φn, N x y z W f x.. x ax 0 y.. y a y 0 z.. z az a 0 0 B P W f Ax b T P 0 a 0 M M 3 T alpl( x j a x j + a0 a0 + axx j + ayy j + azz j l 0 :Hillier et al., 04; Sala, 00( صورت نقطه از استفاده با و سهبعدي فضاي يک در درونيابي که حالتي براي حل با که داشت خواهد وجود شامل RBF ماتريس مجموعه يک پذيرد آيد. مي دست به وزن ماتريس آن شعاعي پايه توابع در عرض( شکل عامل بررسي 6- مرکزي اليه واحدهاي شمار موارد بیشتر در شعاعي پايه تابع هاي شبکه طراحي در درونيابي حالت در ولی است ورودي هاي داده شمار از کمتر توجهی قابل طور به برابر ورودي هاي داده ابعاد با مياني اليه مراکز شمار شعاعي پايه تابع از استفاده با جز متغیري به انتقال تابع که مواردي در است. ورودي هاي داده منطبق آن مراکز و دليل به و است( وابسته نيز σ متغیر به گوسي تابع نمونه براي است وابسته فاصله تابع تعيين شوند مي فرض عادی( گوسي صورت به ها داده ها مدل از بسياري در اينکه کشيدگي و نرمي مشخصه تابع عرض عامل اينجا در است. اهميت دارای تابع عرض و مرتبط فضاي باشد کوچک تابع عرض که زماني کند. مي کنترل را انتقال تابع مورد آموزش براي مراکز از زيادي شمار بنابراين است کوچک نيز تابع نمايندگي باشد گسترده تابع نماينده و مرتبط فضاي که صورتي در آن برابر در است. نياز Rippa, 999; Hayi, 999; Li &Che, 004;( مييابد کاهش برآورد دقت.Forberg & Piret, 008 همه عرض که است متداول شعاعي پايه تابع از استفاده با درونيابي روشهاي در ميتوان گوسي شعاعي پايه تابع عرض تعيين براي شود. گرفته نظر در برابر مراکز شمار به دادهها( قرارگيري فضاي حجم ورودي دادههاي فضاي ابعاد بررسي از کرد: استفاده ورودي دادههاي N di,max di,mi N i σ ( 3 صورت آن در درونيابي که فضايي بعد تعداد N ورودي دادههاي تعداد که تابع عرض هستند. iام بعد در کمينه و بيشينه مقدار d و i,mi d و ميگيرد i,max دادههاي که دارد کاربرد مواردي در 3 معادله از آمده بهدست σ( ( گوسي ديگري معيار باشند. شده پراکنده فضا در همسانگرد و يکنواخت بهصورت ورودي میان بيشينه فاصله پایه بر Hayi (999 توسط گوسي تابع عرض تعيين براي است. شده ارايه ( مياني اليه مراکز شمار و d max ( مياني اليه مراکز d max σ 3 ناهمسانگرد فضاي در مياني اليه واحدهاي عرض بررسي 7- ضرورت سازند تغيير و گسل ناپيوستگي همچون زمينشناسي ساختارهاي وجود يک در.Wigle, 997 ميشود موجب را دادهها در ناهمسانگردي بررسي درجه يک دارای و دسترس در اندازه يک به فضا همه معموال نمونهبرداري سامانه فضاي يک ايجاد نمونهبرداري درستی شرايط از يکي دیگر سوی از نيست. اهميت و ساختار به توجه با موارد از بسياري در است. نمونهبرداري بهمنظور هماحتمال وجود با ميشود طراحي نامنظم بهصورت نمونه برداري شبکه فضايي پيوستگي در اساس اين بر کرد. استفاده نقاط همه براي برابر عرض از نميتوان شرايط اين در با باید را مياني اليه واحدهاي عرض باشد نامنظم نمونهبرداري شبکه که مواردي توابع عرض چگالتر مناطق در کرد. تعيين نمونهها چگالي و پراکندگي گرفتن نظر بزرگتر شعاعي پايه توابع عرض کمتر چگالي با مناطق در و کوچکتر شعاعي پايه فضاي در اقليدسي به نسبت فضايي ساختار فاصله تفاوت اهميت شکل در ميشود. است. شده داده نشان زمينشناسي آن دوران و ناهمسانگردي بيضوي تعيين. 7- موجب كه ناهمگنيهايي تشخيص و فضايي ساختار تعيين منظور به واريوگرافي به ناهمسانگردي ميگيرد. قرار استفاده مورد ميشود فضايي ناهمسانگردي بروز که ميشود گفته مختلف جهتهای در واريوگرام سقف يا و تأثير دامنه تغييرات واريوگرامهاي همسانگرد فضاي در دارد. وجود منطقهاي و هندسي صورت دو به واريوگرامهاي ناهمسانگرد فضاي در ولي هستند همانند جهتها همه در شده رسم يا و تأثير شعاعهاي داراي ناهمسانگردي نوع به بسته مختلف جهتهای در شده رسم خاص محيط يك در ناهمسانگردي شناخت براي بود. خواهند متفاوتي سقفهاي فضاي در تأثير دامنههاي به سپس شده رسم مختلف جهتهای در واريوگرامها ابتدا جهت از تابعي بهعنوان را تأثير دامنه تا ميشود داده برازش بيضوي يك سهبعدي زاويه 3 تعيين بيضوي نمايش براي 39(. معماريان و مرشدي حسين دهد نشان آن كوچك قطر به ناهمسانگردي بيضي بزرگ قطر نسبت يا تأثير دامنه 3 و چرخش ناهمسانگردي( ضرایب آن متوسط قطر به ناهمسانگردي بيضي بزرگ قطر نسبت و روش در.Myers & Jourel, 990; Webster & Margaret, 007( است ضروري از استفاده با و کوواريانس تابع پایه بر شعاعي پايه انتقال تابع عرض پيشنهادي روابط دید از که شد یادآور باید را نکته اين ميآید. دست به واريوگرام مدل سازي.Li & Che, 004 دارند شباهت واريوگرام مدلهاي با انتقال توابع رياضي فضاي در تأثير شعاعهاي روي جهتي واريوگرافي سازي مدل از پس تأثير شعاع تا ميشود داده برازش ناهمسانگردي( بيضوي بيضوي يك سهبعدي بيضوي موقعيت است الزم ابتدا منظور بدين دهد. نشان جهت از تابعي عنوان به را

4 روش جديد شبکه تابع پايه شعاعي تعميم يافته به منظور درونيابي... V G G G V 3 3 Λ (,, ψ. (,3, ψ. (,3, ψ. Λ Λ cos( ψ si( ψ 0 3 cos( ψ 0 3 si( ψ 0 0 λ 0 0 si( ψ cos( ψ cos( ψ 3 si( ψ 0 λ si( ψ 0 cos( ψ 0 si( ψ cos( ψ 0 0 λ3 Σ ( V Λ( V Λ T 8 در فضا معلوم شود. در اين صورت بايد از متغیرهاي بعدي و جهتي استفاده شود 990 Jourel,.Myers & براي نمايش بيضوي تعيين 3 زاويه آزيموت شيب و r max بهعنوان, rmed ميل,, αβθ( و 3 دامنه تأثير بزرگ متوسط و کوچک ( mi, r شعاعهاي بيضوي ضروري است. بنابراين بيضي ناهمسانگردي را ميتوان با تعيين زوايا و شعاعها ضرایب ناهمسانگردي( مشخص كرد. زواياي چرخش در سيستم,ξ,ξ است که محور بزرگ بيضوي به موازات محور Y و دوران ξ کالسيک 3 به صورت ساعت گرد است 998 Jourel,.Deutsch & در صورتي که XYZ( يک سامانه مختصات متعامد دکارتي باشد موقعيت بيضوي با انجام 3 چرخش متوالي صورت مي پذيرد. محور بزرگ بيضوي به موازات محور X محور مياني بيضوي به موازات محور Y و محور کوچک بيضوي به موازات محور Z است شکل 3(. 3 چرخش به ترتيب در امتداد Y Z و X به صورت پادساعت گرد انجام مي شود. براي به دست آوردن نقاط انتقال يافته,y (,x سه ماتريس دوران استفاده ميشود z ( از نقاط اوليه x, y, z ( α 90 ξ, β ξ θ ξ 3 R R R.Remy, 004( x R 0 0 cos β 0 si β cosα siα 0 x y R 0 cosθ siθ 0 0 siα cosα 0 y 6 z R 0 siθ cosθ si β 0 cos β 0 0 z متغیري کردن ماتريس کوواريانس ماتريس کوواريانس Σ از درجه d ترکيبي از مقادير ويژه λ و بردارهاي ويژه i v براي i,..., d است. ماتريس کوواريانس را ميتوان به شکل جفتهاي i d نوشت. ماتريس قطري t Σ λ مقدار ويژه- بردار ويژه و بهصورت i ivv i i Λdiag ( λ نمايانگر ماتريس مقدار ويژه است و ماتريس يکاني,..., λ d V (,...,v v d نمايانگر ماتريس متناظر بردار ويژه است که بردارهاي ويژه عادیسازي شده در ستونهاي ماتريس V جاي می گیرند و به وسيله مقادير ويژه متناظر در ماتريس Λ محاسبه مي شوند. سپس ماتريس کوواريانس را مي توان از رابطه ΣVΛV T به دست آورد 0.Arı, براي تعيين يک ساختار متقارن ماتريس کوواريانس دلخواه با بعد d داراي ( ( dd+ درجه آزادي است از اين رو براي ارايه اين ماتريس تعداد dd ( مقدار ويژه و با تعداد ( d متغیر نياز است که با استفاده از dd+ ( ( pq p q است انجام ميشود. ψ [ π 4,3π که زاويه ماتريس انتقال [4 pq مرتبط با چرخش پادساعت گرد زاويهاي αدر ماتريس انتقال,, pqψ G( صفحهاي که توسط محورهاي p و q پوشش داده شده است صورت ميگيرد مراحل محاسبه عرض واحدهاي اليه مياني با استفاده از مدلسازي فضايي ناهمسانگردي به شرح زير است: ( متغیرهاي بيضوي ناهمسانگردي در حالت سهبعدي( با استفاده از رسم واريوگرام هاي جهتي براي متغير ناحيه اي تعيين مي شود. ( دوران داده هاي ورودي با توجه به متغیرهاي بيضوي ناهمسانگردي و با استفاده از ماتريس دوران انجام مي شود. 3( مرکز بيضوي ناهمسانگردي روي همه نقاط ورودي يا واحدهاي اليه مياني قرار گرفته و يافتن نقاط موجود در همسايگي فضاي بيضوي ناهمسانگردي صورت d ميان نقاط قرار گرفته در اين فضا ميگیرد. ابتدا نصف ميانگين فاصله ( r equivalet در سامانه مختصات کروي با انحراف 45 محاسبه و شعاع معادل بيضوي ( درجه از محورهاي Z و X درجه تعيين ميشود. ضريب تصحيح ( c( از نسبت نصف ميانگين فاصله میان نقاط شعاع همسايگي به شعاع ميانگين بيضوي تعريف ميشود. r c از حاصل ضرب ضريب تصحيح در شعاعهاي شعاعهاي تصحيح شده بيضوي ( اوليه بيضوي بهدست ميآيد. x rmax si 45 cos 45 rmax + rm ed + rmi y rm ed si 45 si 45 requivalet z r mi cos 45 d 9 d c r rmax + rm ed + rmi r c r,r c r,r c r c-max max c-med med c-mi mi با استفاده از اين روش دو حالت مرزي براي محاسبه فاصله ( d قابل بررسي است: الف( در صورتي که فاصله همسايگي کوچکتر از نصف فاصله میان مرکز واحد اليه مياني و نزديکترين نقطه نمونه باشد هيچ نمونهاي در فاصله همسايگي قرار نداشته باشد( فاصله ( d برابر با فاصله میان مرکز واحد اليه مياني و نزديکترين نقطه نمونه قرار ميگیرد و شعاعهاي تصحيح شده بيضوي به دست ميآید. ب( در صورتي که در فاصله همسايگي حداکثر يک نمونه وجود داشته باشد فاصله ( d را برابر با فاصله اقليدسي میان مرکز واحد اليه مياني و نزديکترين نقطه نمونه قرار داده يا ضريب تصحيح را افزايش داده تا دست کم دو نقطه در درون بيضوي قرار بگيرد. 4( تعيين ماتريس کوواريانس براي هر واحد اليه مياني بر پایه شعاعهاي تصحيح شده و ویژگیهای جهتي بيضوي ناهمسانگردي با استفاده از متغیرسازي ماتريس کوواريانس است. 0 cos( α si( α 0 cos( β 0 si( β 0 0 rc 0 0 V Λ si( α cos( α cos( θ si( θ max 0 r 0 c med 0 0 si( β 0 cos( β 0 si( θ cos( θ 0 0 rc mi T Σ ( V Λ( V Λ σ σ σ x Σ σyx xy σy xz σyz σzx σzy σ z 5( مقدار تابع پايه شعاعي وابسته به عامل شکل تابع برای نمونه گوسي( با استفاده از ماتريس کوواريانس به دست ميآید..Golub & Va Loa, 996( : : : : pq pq 0.. cos( ψ.. si( ψ.. 0 pq G( pq,, ψ : : : : 7 pq pq 0.. si( ψ.. cos( ψ.. 0 : : : : براي نمونه در مورد يک ماتريس کوواريانس 3 3 افزون بر 3 مقدار ويژه 3 3 ( ψ, ψ, ψ معادلویژگیهایبعديبيضوي- 3 زاويهدوران ( λ, λ, λ3 معادل ویژگیهای جهتي بيضوي- مورد نياز است 0.Arı, 0

5 معماريان حسين و حسينمرشدي امين دادهها ساختار و کوواريانس ماتريس پایه بر گرهها از يک هر براي سپس است. از استفاده با انتقال توابع يافته تعميم ماتريس و ميآید دست به گوسي انتقال تابع ميشود. تشکيل گوسي انتقال تابع مقادير و تا - بازه در شده استاندارد مختصات ماتريس روي جبري عمليات از استفاده با گرهها وزني ماتريس به بعد مرحله در ميآید. دست به انتقال توابع يافته تعميم ماتريس و ميشود داده 00 عياري مقادير شبکه درونيابي و تشکيل بعد 3 در متر 0 فواصل با منظم شبکه درونيابي بهمنظور 7 شکل در که شد انجام منظم شبکه اين نقطه 000 از يک هر براي شعاعي پايه تابع است. شده داده نمايش عيار شده درونيابي سهبعدي مدل به تک بهصورت را دادهها ميتوان الگوريتم اعتبارسنجي و ارزيابي منظور به باقيمانده از استفاده با و آورد بیرون ورودي اليه از شده دستهبندي بهصورت يا تک با حاضر مطالعه در داد. انجام خروجي نقاط( نقطه مختصات در را برآورد نقاط بیرون ورودي اليه از تک به تک نقاط ورودي اليه نقاط محدود شمار به توجه نسبت برآوردي دادههاي بر شده برازش خط که شد انجام درونيابي و آورده است 0/87 همبستگي ضريب داراي و درجه 45 خط به نزديک واقعي بهدادههاي 8(. شکل بحث 9- متغيرهاي درونيابي زمينه در نوين رويکرد يک با الگوريتمي پژوهش اين در به ميتوان را پيشنهادي الگوريتم نوآوري است. شده ارايه علومزمين در ناحيهاي تعميم بهصورت که است RBF ماتريس به مربوط اول بخش کرد. تقسيم بخش دو جبري حل در خطي تابع يک بهصورت مياني واحدهاي مختصات و شده ارايه يافته شکل عامل تعيين چگونگی نوآوري دوم بخش در است. رفته کار به ماتريس شده گرفته نظر در دادهها فضايي ناهمسانگردي که گرفته قرار بحث مورد RBF از تابعي RBF شکل عامل براي ثابت عدد يک که مرسوم حالت جاي به است. برای شکل عامل سهبعدي حالت در میشود تعيين گوسي( حالت براي واريانس شعاع 3 و چرخش زاويه 3 پایه بر 3 3 کوواريانس ماتريس يک بهصورت نمونه( بيضوي کوواريانس ماتريس شد. تعيين جهتي واريوگرافي و ناهمسانگردي بيضوي در گرفته قرار نقاط فاصله ميانگين پایه بر مياني واحد هر براي RBF و ناهمسانگردي( 9 شکل در ميشود. تصحيح و مقياس محلي بهصورت مياني واحد همسايگي شعاع است. شده داده نشان يافته تعميم RBF شبکه درونيابي اجراي مختلف مراحل گيري نتيجه 0- مياني اليه گرههاي مختصات يافته تعميم شعاعي پايه تابع شبکه درونيابي روش در اوزان ضرایب ماتريس حل در انتقال توابع يافته تعميم ماتريس از جزیي عنوان به شد. گرفته نظر در ورودي اليه با برابر مياني اليه ابعاد و استفاده شکل عامل برگيرنده در که گوسي تابع مانند انتقالي توابع شده ارايه روش در همسايگي شعاع دادههاي آرايش پایه بر مياني اليه از گره هر در شکل عامل است شد. گرفته نظر در شکل تابع در ناهمسانگردي متغیرهاي و تعيين متفاوت ویژگیهای و فضايي ساختار انتقال توابع در شکل عامل آوردن دست به براي به توجه با و شد استخراج جهتي واريوگرافي از استفاده با دادهها ناهمسانگردي همسايگي شعاع در گرفته قرار نقاط و ناهمسانگردي بيضوي جهتي و بعدي متغیرهاي آمد. دست به پايه شعاع انتقال تابع شکل عامل و کوواريانس ماتريس شد استفاده مصنوعي داده مجموعه از شده ارايه روش اعتبارسنجي منظور به اب درونيابي است. شده نمونهبرداري سهبعدي فضاي يک در نامنظم بهصورت که همبستگي ضريب داراي که شد انجام يافته تعميم شعاعي پايه تابع شبکه از استفاده است. درجه 45 خط به نزديک و برآوردي و واقعي دادههاي میان 0/87 بااليي φ x x exp ( x x Σ ( x x T ( G i i i i دست به تابع از استفاده با شعاعي پايه تابع شبکه درونيابي با مرتبط مراحل همه 6( ميشود. انجام آمده مصنوعي دادههاي روي کاربرد 8- فضايي توزيع پایه بر مصنوعي دادههاي از مجموعهاي شده ارايه روش ارزيابي براي فضايي چگالي و کراني نمونههاي محدود فراواني با غيرعادی آماري توزيع نامنظم فضاي يک از معدني ماده عيار دادههاي مجموعه اين شد. توليد نمونهها مناسب مدل اين در است. شده برداشت مکعب متر بهحجم سه بعدي اين عيار مقادير شده اند. برداشت تصادفي و نامنظم بهصورت نمونه 00 مصنوعي 4 شکل در دارد. درصد 50 تقريبي ميانگين با درصد 00 تا 0 میان دامنهاي نمونهها ب بخش در و سه بعدي فضاي در مصنوعي دادههاي اين دونمايي توزيع الف بخش است. شده داده نمايش نمونهها عيار فرواني توزيع نمودار دادهها اين ناهمسانگردي ویژگیهای تعيين و فضايي ساختار بررسي براي روي مدلها و گرفت صورت مختلف راستاهاي در سهبعدي جهتي واريوگرافي بيشترين که ناهمسانگردي اصلي جهت در شد. داده برازش تجربي واريوگرامهاي ساختاردار بخش داراي شده( استاندارد واريوگرام کروي مدل دارد را پيوستگي پایه بر الف(. 5- شکل است قطعهاي( اثر تصادفي بخش به نسبت توجهي قابل در تأثير شعاع تغييرات و مختلف جهتهای در آمده دست به واريوگرام هاي شکلهای در کرد. سازي مدل را ناهمسانگردي بيضوي ميتوان متفاوت راستاهاي ناهمسانگردي بيضوي تصوير و ناهمسانگردي بيضوي سهبعدي شکل ه تا ب 5- توسط ناهمسانگردي بيضوي اين است. شده داده نمايش واريوگرام نقشه همراه به ميل و شيب آزيموت زاويه 3 و کوچک و متوسط بزرگ شعاع 3 متغیرهاي است. شده مشخص و ميکند بررسي را برآورد مورد نقطه همسايگي فضاي ناهمسانگردي بيضوي ميگيرند. قرار برآورد مورد نقطه همسايگي شعاع در نقاط کدام که است اين بيانگر قرار شعاعي پايه تابع شبکه مياني اليه گرههاي روي ناهمسانگردي بيضوي مرکز اليه گره هر با مرتبط همسايگي شعاع نقاط چرخش زاوياي و شعاع پایه بر و گرفتند شعاع نقاط فاصله ميانگين نصف پایه بر و همسايگي نقاط توجه با شد. مشخص مياني دست به 9 رابطه به توجه با شده تصحيح شعاعهاي و تصحيح ضريب همسايگي خواص دید از که ميشود تعريف بيضوي مياني اليه گره هر براي بنابراين ميآید. ناهمسانگردي ضرایب گرفتن نظر در با جهتي متغیرهاي دید از ولی يکسان جهتي را کوواريانس ماتريس بيضويها از يک هر براي ميتوان همسایگی فواصل و آورد. دست به استفاده ناهمسانگردي بيضي ویژگیهای از کوواريانس ماتريس تعيين براي شعاع بزرگترين و پادساعت گرد بهصورت زوايا چرخش که حالتي ميشود. بهصورت زوايا چرخش که حالتي به نسبت باشد منطبق X محور روي بيضوي اختالف داراي باشد منطبق Y محور روي بيضوي شعاع بزرگترين و ساعت گرد 6 شکل در است. يکسان ميل زاويه و شيب در قرينه حالت آزيموت در فاز ويژه مقدار متغیرهاي با ناهمسانگردي بيضوي 3 3 کوواريانس ماتريس يک تعيين o 3 o 3 o ( ψ 75, ψ 50, ψ 80 جهتي متغیرهاي و ( λ 38, λ 33, λ3 7 توابع در شکل عامل از تابعي بهصورت کوواريانس ماتريس است. شده داده نمايش است. بسط قابل انتقال با برابر مياني اليه گرههاي شمار شعاعي پايه تابع شبکه درونيابي روش در 00 با برابر مطالعه مورد مصنوعي داده مجموعه براي که است ورودي اليه بعد

6 روش جديد شبکه تابع پايه شعاعي تعميم يافته به منظور درونيابي... شکل - نمايش تصويري شبکه رايج.RBF شكل - مقايسه میان فواصل: الف( اقليدسي ب( واريوگرام شکل 3- نمايش بيضوي در حالت: الف( ثابت ب( دوران در امتداد Z ج( دوران در امتداد Y د( دوران در امتداد.Remy, 004 X.Caers, 0( شکل 4- الف( مجموعه داده مصنوعي در فضاي سه بعدي ب( توزيع فراواني عيار مجموعه داده مصنوعي.

7 امين حسينمرشدي و حسين معماريان شکل 5- الف( واريوگرافي به همراه مدل برازش شده در جهت اصلي: نمايش بيضوي ناهمسانگردي ب( سه بعدي ج( XY د( XZ ه(.YZ 3

8 روش جديد شبکه تابع پايه شعاعي تعميم يافته به منظور درونيابي... شکل 6- نمايش چگونگی محاسبه ماتريس کوواريانس براي مجموعه داده مصنوعي. شکل 7- مدلسازي سهبعدي درونيابي شبکه تابع پايه شعاعي مجموعه داده مصنوعي. 4

9 امين حسينمرشدي و حسين معماريان شکل 8- الف( نمودار اعتبارسنجي متقاطع مقادير واقعي و برآوردی ب( مقايسه مقادير واقعي و برآوردی عيار. شکل 9- فرايند انجام درونيابي شبکه RBF تعميم يافته براي متغير ناحيه اي در علوم زمين. جدول - توابع انتقال مورد استفاده در تابع پايه شعاعي. رابطه رياضياتي φ ( r r φ ( r r 3 φ ( r r l r φ(, r ε e ε r ( φ( r, ε + ε r φ( r, ε + ( εr φ( r, ε + ( εr φ( r, ε + ( εr نام تابع خطي هماني( مکعبي صفحه باريک گوسي کشي ربعي وارون چندربعي چندربعي وارون 5

10 روش جديد شبکه تابع پايه شعاعي تعميم يافته به منظور درونيابي... کتابنگاري حسينمرشدي ا. و معماريان ح. 39- پهنهبندي شاخص كيفي سنگ در ساختگاه سد سميالن براساس گسلها و شبكه عصبي خودسازمانده با استفاده از کريجينگ و شبکه عصبي فصلنامه علمي- پژوهشي علوم زمين شماره 84 ص Refereces Arı, Ç., Asoy, S. & Arıa, O., 0- Maximum lielihood estimatio of Gaussia mixture models usig stochastic search. Patter Recogitio. 45, Baxter, B. J., 99- Coditioally positive fuctios ad p-orm distace matrices. Costructive Approximatio. 7, Broomhead, D. S. & Lowe, D., 988- Multivariable Fuctioal Iterpolatio ad Adaptive Networs. Complex Systems., Buhma, M. D., 003- Radial basis fuctios: theory ad implemetatios. Cambridge Uiversity Press, New Yor. Caers, J., 0- Modelig Ucertaity i the Earth Scieces. Wiley-Blacwell, Chichester. Cover, T. M., 965- Geometrical ad Statistical Properties of Systems of Liear Iequalities with Applicatios i Patter Recogitio. IEEE Trasactios o Electroic Computers EC. 4, Deutsch, C. V. & Jourel, A. G., 998- GSLIB - Geostatistical Software Library ad User s Guide, Secod ed. Oxford Uiversity Press, Oxford, New Yor. Flyer, N., Wright, G. B. & Forberg, B., 04- Radial basis fuctio-geerated fiite differeces: A mesh-free method for computatioal geoscieces. Hadboo of Geomathematics. Spriger, Berli. Forberg, B. & Piret, C., 008- O choosig a radial basis fuctio ad a shape parameter whe solvig a covective PDE o a sphere. J. Comput. Phys. 7, Golub, G. H. & Va Loa, C. F., 996- Matrix Computatios, 3rd ed.. Johs Hopis Uiversity Press. Hayi, S., 999- Neural Networs: A Comprehesive Foudatio. d editio. Pretice-Hall, New Jersey. Hillier, M. J., Schetselaar, E. M., de Kemp, E. A. & Perro, G., 04- Three-Dimesioal Modellig of Geological Surfaces Usig Geeralized Iterpolatio with Radial Basis Fuctios. Mathematical Geoscieces, -3. Li, G. F. & Che, L. H., 004- A spatial iterpolatio method based o radial basis fuctio etwors icorporatig a semivariogram model. Joural of Hydrology. 88, Moody, J. E. & Dare, C. J., 989- Fast Learig i Networs of Locally-Tued Processig Uits. Neural Computatio., Mustafa, M. R., Rezaur, R. B., Rahardjo, H. & Isa, M. H., 0- Predictio of pore-water pressure usig radial basis fuctio eural etwor. Egieerig Geology, 35, Myers, D. E. & Jourel, A. G., 990- Variograms with zoal aiostropies ad oivertable rigig systems. Mathematical Geology., Osterma, I., 0- Modelig heat trasport i deep geothermal systems by radial basis fuctios. PhD Thesis, TU Kaiserslauter, Geomathematics Group, Dr. Hut Verlag, Muich, Germay. Poggio, T. & Girosi, F., 990- Networs for Approximatio ad Learig. Proceedigs of the IEEE. 78, Powell, M. J. D., 977- Restart Procedures for the Cojugate Gradiet Method. Mathematical Programmig., Remy, N., 004- Geostatistical Earth Modelig Software: User s Maual. Staford Uiversity, CA. Reals, S., 989- Radial Basis Fuctio Networ for Speech Patter Classificatio. Electroics Letters. 5, Rippa, S., 999.-A algorithm for selectig a good value for the parameter c i radial basis fuctio iterpolatio. Adv. Comput. Math., Sahi, F., 997- A radial basis fuctio approach to a color image classificatio problem i a real time idustrial applicatio. Ph.D. Thesis, Polytechic Istitute of Virgiia. Sala,V., 00- Progressive RBF Iterpolatio. Afrigraph 00 proceedigs, 7-0, ACM. Webster, R. & Margaret, A., 007- Geostatistics for Evirometal Scietists, secod ed. Joh Wiley & Sos Ltd, Chichester. Wigle, W. L., 997- Evaluatig Subsurface Ucertaity Usig Modified Geostatistical Techiques. Degree of Doctor of Philosophy (Geological Egieer, Colorado School of Mies, 80 pp. Wright, G. B., 003- Radial basis fuctio iterpolatio: umerical ad aalytical developmets. Ph.D. thesis. Uiversity of Colorado, Boulder. Zhag, A. & Zhag, L., 004- RBF eural etwors for the predictio of buildig iterferece effects. Comput Struct. 8, Zhag, M., Wag, K., Zhag, C., Che, H., Liu, H., Yue, Y., Luffma, I. & Qi, X., 0- Usig the radial basis fuctio etwor model to assess rocy desertificatio i orthwest Guagxi, Chia. Evirometal Earth Scieces 6,

11